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                "comment": "Created page with \"= Funktionen: Definition, Notation & Beispiele = Diese Seite f\u00fchrt den Funktionsbegriff (Abbildung) formal ein, kl\u00e4rt die Bezeichnungen und zeigt zentrale Beispiele \u2013 auch ausserhalb von \u211d.  == Definition (Abbildung) == Seien A und B Mengen. Eine Funktion (Abbildung)  f : A \u2192 B ist eine Vorschrift, die jedem Element x \u2208 A genau ein Element f(x) \u2208 B zuordnet.  Wesentliche Punkte: * Eindeutigkeit: Zu jedem x \u2208 A gibt es genau ein Bild f(x).   * Totalit\u00e4t: Je...\""
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                "comment": "Created page with \"= Funktionen (Abbildungen): \u00dcberblick = Diese \u00dcbersichtsseite f\u00fchrt in den Begriff der Funktion (Abbildung) ein und verlinkt auf die Detailseiten: Definition & Notation, Graph, Injektivit\u00e4t/Surjektivit\u00e4t/Bijektivit\u00e4t, Komposition und Umkehrfunktion. Die Beispiele orientieren sich an den Inhalten der Vorlesung \u201eDiskrete Mathematik I (BZG1155pa) 25/26\u201c.  == Was ist eine Funktion? == Eine Funktion (Abbildung) ordnet jedem Element x einer Menge A **genau ein** Elem...\""
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                "comment": "Created page with \"= Endliche Mengen und das Einschluss-Ausschluss-Prinzip = Viele praktische Probleme befassen sich mit **endlichen Mengen**, also Mengen mit abz\u00e4hlbarer Anzahl von Elementen.   F\u00fcr solche Mengen spielt das **Z\u00e4hlen** von Elementen und \u00dcberschneidungen eine zentrale Rolle.  == Endliche und unendliche Mengen == Eine Menge hei\u00dft **endlich**, wenn sie genau *m* verschiedene Elemente enth\u00e4lt, wobei *m* eine nat\u00fcrliche Zahl ist.   Sonst hei\u00dft sie **unendlich**.  Beispie...\""
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                "title": "Geordnete Paare, n-Tupel & kartesische Produkte",
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                "comment": "Created page with \"= Geordnete Paare, n-Tupel und kartesische Produkte = In der Mengenlehre spielt die **Reihenfolge** der Elemente normalerweise keine Rolle.   Doch in vielen Anwendungen \u2013 etwa bei Funktionen oder Datenstrukturen \u2013 ist sie entscheidend.   Dazu dienen **geordnete Paare** und **Tupel**.  == Geordnete Paare == Ein **geordnetes Paar** besteht aus zwei Elementen, bei denen die Reihenfolge eine Rolle spielt.   Notation:  (a, b)  Das erste Element ist **a**, das zweite ist *...\""
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                "comment": "Created page with \"= Mengensysteme, Potenzmenge und Partitionen = Neben einzelnen Mengen betrachtet man oft **Systeme von Mengen** \u2013 also Mengen, deren Elemente wiederum Mengen sind.   Dazu geh\u00f6ren wichtige Begriffe wie **Potenzmenge** und **Partition**.  == Mengensystem == Eine **Menge von Mengen** hei\u00dft ein **Mengensystem**.   Beispiel:  S = { {1, 2}, {3, 4}, {5} }  Jedes Element von S ist selbst eine Menge.  == Potenzmenge == Die **Potenzmenge** einer Menge S ist die Menge aller **T...\""
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                "comment": "Created page with \"= Mengenalgebra und Dualit\u00e4t = Die in der Mengenlehre definierten Operationen (Vereinigung, Durchschnitt, Komplement, Differenz) folgen bestimmten **algebraischen Gesetzen**.   Diese Gesetze erlauben es, Ausdr\u00fccke zu vereinfachen oder zu beweisen, dass zwei Mengenoperationen \u00e4quivalent sind.  == Grundlegende Gesetze der Mengenalgebra == F\u00fcr beliebige Mengen A, B, C und die Universalmenge U gelten folgende Gesetze:  === 1. Idempotenz === A \u222a A = A   A \u2229 A = A    D...\""
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                "comment": "Created page with \"= Vereinigung, Durchschnitt, Differenz und Komplement = In der Mengenlehre werden neue Mengen oft durch **Operationen** auf bestehenden Mengen gebildet.   Die wichtigsten sind **Vereinigung**, **Durchschnitt**, **Komplement** und **Differenz**.  == Vereinigung == Die **Vereinigung** zweier Mengen A und B, geschrieben **A \u222a B**, ist die Menge aller Elemente, die in **A** oder in **B** enthalten sind (oder in beiden).  Formale Definition:  A \u222a B := {x : x \u2208 A \u2228 x...\""
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                "comment": "Created page with \"= Teilmengen und Gleichheit von Mengen = Neben der Zugeh\u00f6rigkeit von Elementen zu Mengen spielt auch die Beziehung zwischen Mengen selbst eine zentrale Rolle.   Dazu geh\u00f6rt insbesondere das Konzept der **Teilmengen**.  == Definition: Teilmenge == Eine Menge **A** hei\u00dft **Teilmengen** von **B**, wenn jedes Element von **A** auch ein Element von **B** ist.  Notation:  A \u2286 B \u21d4 \u2200x (x \u2208 A \u21d2 x \u2208 B)  Wenn A keine Teilmenge von B ist, schreibt man:  A \u2288 B  Falls...\""
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                "comment": "Created page with \"= Mengenlehre: \u00dcberblick & Bedeutung = Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik, das von **Georg Cantor (1845\u20131918)** im 19. Jahrhundert entwickelt wurde.   Sie bildet das Fundament nahezu aller modernen mathematischen Disziplinen.   Jede mathematische Struktur \u2013 von Zahlen \u00fcber Funktionen bis zu geometrischen Objekten \u2013 kann in der Sprache der Mengenlehre formuliert werden.  == Ursprung und Idee == Cantor definierte den Begriff der Menge f...\""
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