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= Teilmengen und Gleichheit von Mengen =
Neben der Zugehörigkeit von Elementen zu Mengen spielt auch die Beziehung zwischen Mengen selbst eine zentrale Rolle.  
Dazu gehört insbesondere das Konzept der **Teilmengen**.

== Definition: Teilmenge ==
Eine Menge **A** heißt **Teilmengen** von **B**, wenn jedes Element von **A** auch ein Element von **B** ist.

Notation:
 A ⊆ B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Wenn A keine Teilmenge von B ist, schreibt man:
 A ⊈ B

Falls A ⊆ B gilt, aber A ≠ B, nennt man A eine **echte Teilmenge** von B:
 A ⊂ B

== Beispiel ==
* {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}  
* {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}  
* {a, b} ⊂ {a, b, c, d}  
* {a, b, c, d} ⊆ {a, b, c, d}  
* {x} ⊄ {y, z}

== Grundlegende Eigenschaften von Teilmengen ==
Für beliebige Mengen A, B, C und die leere Menge ∅ gilt:

1. **Reflexivität:**  
   ∅ ⊆ A und A ⊆ A  

2. **Transitivität:**  
   Wenn A ⊆ B und B ⊆ C, dann gilt A ⊆ C  

3. **Antisymmetrie:**  
   A = B ⇔ (A ⊆ B und B ⊆ A)

== Beispiele ==
=== Beispiel 1 ===
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

(a) {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}  
(b) ∅ ⊆ ∅  
(c) {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 4}

**Lösungen:**
* (a) Wahr – jede Menge ist Teilmenge von sich selbst.  
* (b) Wahr – die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, auch von sich selbst.  
* (c) Falsch – 3 ∈ {1, 2, 3}, aber 3 ∉ {1, 2, 4}.

== Darstellung durch Venn-Diagramme ==
Das Teilmengenverhältnis kann anschaulich dargestellt werden:
* Wenn A ⊆ B, liegt die Fläche von A vollständig innerhalb von B.
* Wenn A und B disjunkt sind, überschneiden sich ihre Flächen nicht.

== Wichtige Sonderfälle ==
<syntaxhighlight lang='bash'>
| Situation       | Bedeutung                                    |
|-----------------|----------------------------------------------|
| ∅ ⊆ A          | Leere Menge ist immer Teilmenge              |
| A ⊆ U           | Jede Menge ist Teilmenge der Universalmenge  |
| A ⊆ B und B ⊆ A | Dann gilt A = B                              |
</syntaxhighlight>

== Zusammenhang mit Gleichheit ==
Das Teilmengenprinzip ist die Grundlage der **Gleichheitsdefinition**:
 A = B ⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A)

Damit ist die Gleichheit zweier Mengen formal nichts anderes als gegenseitige Teilmengenbeziehung.

== Zusammenfassung ==
* A ⊆ B bedeutet: Alle Elemente von A sind in B enthalten.  
* Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.  
* A = B gilt genau dann, wenn A ⊆ B und B ⊆ A.  
* Teilmengen lassen sich visuell als vollständig enthaltene Bereiche darstellen.  
* Das Teilmengenprinzip ist ein fundamentales Werkzeug in der Mengenlehre.

[[Category:Set Theory (Mengenlehre)]]