Geordnete Paare, n-Tupel & kartesische Produkte
Geordnete Paare, n-Tupel und kartesische Produkte
In der Mengenlehre spielt die Reihenfolge der Elemente normalerweise keine Rolle. Doch in vielen Anwendungen – etwa bei Funktionen oder Datenstrukturen – ist sie entscheidend. Dazu dienen geordnete Paare und Tupel.
Geordnete Paare
Ein geordnetes Paar besteht aus zwei Elementen, bei denen die Reihenfolge eine Rolle spielt. Notation:
(a, b)
Das erste Element ist a, das zweite ist b. Zwei geordnete Paare (a, b) und (c, d) sind gleich, genau dann, wenn gilt:
a = c und b = d
Beispiel:
- (1, 2) ≠ (2, 1)
- (x, y) = (x, y)
- (a, b) ≠ (b, a), sofern a ≠ b
Kartesisches Produkt
Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare (x, y) mit x ∈ A und y ∈ B.
Formale Definition:
A × B := {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B}
Beispiel:
A = {1, 2}
B = {a, b, c}
Dann gilt:
A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
A² = A × A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
Anzahl der Elemente
Wenn A und B endlich sind, gilt:
|A × B| = |A| · |B|
Beispiel:
A = {1, 2, 3}, B = {a, b}
|A × B| = 3 · 2 = 6
n-Tupel
Ein n-Tupel ist eine geordnete Liste von n Elementen:
(a₁, a₂, …, aₙ)
Die Reihenfolge der Elemente ist wesentlich.
Zwei n-Tupel (a₁, a₂, …, aₙ) und (b₁, b₂, …, bₙ) sind gleich, wenn:
a₁ = b₁ ∧ a₂ = b₂ ∧ … ∧ aₙ = bₙ
Beispiele:
- (a, b, c) → Tripel
- (a, b, c, d) → Quadrupel
Kartesisches Produkt mehrerer Mengen
Für n Mengen A₁, A₂, …, Aₙ gilt:
A₁ × A₂ × … × Aₙ = {(a₁, a₂, …, aₙ) : aᵢ ∈ Aᵢ für alle i}
Beispiel:
A = {a, b}, B = {x}, C = {1, 2, 3}
A × B × C = {
(a, x, 1), (a, x, 2), (a, x, 3),
(b, x, 1), (b, x, 2), (b, x, 3)
}
Kombinatorische Überlegungen
Wenn |A₁| = n₁, |A₂| = n₂, …, |Aₙ| = nₙ, dann gilt:
|A₁ × A₂ × … × Aₙ| = n₁ · n₂ · … · nₙ
Beispiel:
Drei Mengen:
- A = {rot, blau}
- B = {rund, eckig}
- C = {klein, gross}
→ |A × B × C| = 2 · 2 · 2 = 8 Kombinationen.
Variation der Elemente
Bei einer Menge aus n Zahlen (1, 2, …, n):
- Wenn jede Zahl nur einmal vorkommen darf → n! mögliche Tupel (Permutationen)
- Wenn jede Zahl beliebig oft vorkommen darf → nⁿ mögliche Tupel
Anwendung
Kartesische Produkte und Tupel bilden die Grundlage für:
- Funktionen: eine Funktion ist eine Teilmenge von A × B
- Datenbanken: Tabellenzeilen entsprechen n-Tupeln
- Vektorräume: Elemente sind n-Tupel reeller Zahlen
Zusammenfassung
- Reihenfolge spielt bei geordneten Paaren und Tupeln eine Rolle.
- Das kartesische Produkt A × B kombiniert alle möglichen Paare (x, y).
- |A × B| = |A| · |B| bei endlichen Mengen.
- Das Konzept erweitert sich auf n-Tupel.
- Anwendungen: Funktionen, Datenstrukturen, Relationen, Kombinatorik.