View source for Exercises - 02 Kontrollaufgaben

= Kontrollaufgaben Aussagenlogik Teil 2 =

''Achtung: detaillierte Lösungswege mit Zwischenresultaten werden erwartet. Ohne klar ersichtlichen Lösungsweg bzw. Begründung gibt es keine Punkte.''

== Aufgabe 1 ==
Max wird mit hohem Fieber und ausgeprägtem Gliederschmerzen in das Spital eingeliefert. Dr. House diskutiert die Diagnose mit einer Kollegin.

* Dr. House: „Wenn der Patient Fieber hat, handelt es sich um Grippe oder Erkältung.”
* Cameron: „Wenn er keine starken Gliederschmerzen hat, dann hat er keine Grippe.”
* Dr. House: „Hohes Fieber und starke Gliederschmerzen weisen auf Grippe hin.”
* Cameron: „Er hat sicher nicht beide Krankheiten gleichzeitig.”

Verwenden Sie:  
<syntaxhighlight lang='text'>
F = Patient hat Fieber  
S = Patient hat Gliederschmerzen  
G = Patient hat Grippe  
E = Patient leidet unter einer Erkältung
</syntaxhighlight>

=== (a) Formalisierung (4 Punkte) ===
# F → (G ∨ E)
# ¬S → ¬G
# (F ∧ S) → G
# ¬(G ∧ E)

=== (b) Diagnose mit Begründung (4 Punkte) ===
Max hat F = wahr und S = wahr.

* Aus (3): (F ∧ S) → G. Da F und S wahr, folgt G = wahr.  
* Aus (4): ¬(G ∧ E). Da G = wahr, muss E = falsch gelten.  
* (1) ist erfüllt, da F → (G ∨ E) = wahr.  
* (2) ist erfüllt, da ¬S = falsch ⇒ Implikation wahr.

'''Diagnose:''' Grippe (G = wahr), keine Erkältung (E = falsch).

Tabelle für F = w, S = w:

{| class="wikitable"
! F !! S !! G !! E !! Erfüllt alle 4 Bedingungen?
|-
| w || w || w || w || nein (verletzt 4)
|-
| w || w || w || f || '''ja'''
|-
| w || w || f || w || nein (verletzt 3)
|-
| w || w || f || f || nein (verletzt 3)
|}

== Aufgabe 2 ==
Brown, Jones und Smith werden verdächtigt.

<syntaxhighlight lang='bash'>
Brown: “Jones ist schuldig und Smith ist unschuldig.”
Jones: “Wenn Brown schuldig ist, ist es Smith auch.”
Smith: “Ich bin unschuldig, aber mindestens einer der anderen ist schuldig.”
</syntaxhighlight>

<syntaxhighlight lang='text'>
B = Brown ist unschuldig  
J = Jones ist unschuldig  
S = Smith ist unschuldig  
(Schuldig = Negation)
</syntaxhighlight>

=== (a) Formeln und Wahrheitstabelle (6 Punkte) ===
* Brown: ¬J ∧ S
* Jones: (¬B) → (¬S)
* Smith: S ∧ (¬B ∨ ¬J)

{| class="wikitable"
! B !! J !! S !! Brown (¬J ∧ S) !! Jones ((¬B) → (¬S)) !! Smith (S ∧ (¬B ∨ ¬J))
|-
| f || f || f || f || t || f
|-
| f || f || t || t || t || t
|-
| f || t || f || f || t || f
|-
| f || t || t || f || t || t
|-
| t || f || f || f || f || f
|-
| '''t''' || '''f''' || '''t''' || '''t''' || '''t''' || '''t'''
|-
| t || t || f || f || t || f
|-
| t || t || t || f || t || f
|}

=== (b) Auswertung (je 1 Punkt) ===
<syntaxhighlight lang='text'>
(i) Konsistenz: Ja, z. B. B = t, J = f, S = t.  
(ii) Aus Browns Aussage folgt Smiths Aussage.  
(iii) Alle unschuldig (B = J = S = t): Brown = falsch, Jones = wahr, Smith = falsch → Brown und Smith lügen.  
(iv) Alle Aussagen wahr: B = t, J = f, S = t → Brown und Smith unschuldig, Jones schuldig.  
(v) „Wahrheit bei Unschuldigen, Lüge bei Schuldigen“ → Lösung: B = f (schuldig), J = t (unschuldig), S = f (schuldig).
</syntaxhighlight>

== Aufgabe 3 ==
<syntaxhighlight lang='text'>
A = Grizzlybären gesichtet  
B = Wandern sicher  
C = Beeren reif
</syntaxhighlight>

<syntaxhighlight lang='text'>
(a) Die Beeren entlang des Wanderwegs sind reif, aber es wurden keine Grizzlybären in der Gegend gesichtet.
(b) Falls die Beeren entlang des Wanderwegs reif sind, dann ist das Wandern auf dem Wanderweg genau dann sicher, wenn keine Grizzlybären in der Gegend gesichtet wurden.
(c) Damit das Wandern auf dem Wanderweg sicher ist, ist es notwendig, aber nicht hinreichend, dass die Beeren nicht reif sind, und dass keine Grizzlybären in der Gegend gesichtet wurden.
</syntaxhighlight>

<syntaxhighlight lang='text'>
(a) C ∧ ¬A  
(b) C → (B ↔ ¬A)  
(c) (B → (¬C ∧ ¬A)) ∧ ¬((¬C ∧ ¬A) → B)
</syntaxhighlight>

== Aufgabe 4 ==
<syntaxhighlight lang='text'>
(a) ( P → (Q → R) ) ↔ ( (P → Q) → R )
</syntaxhighlight>

<syntaxhighlight lang='text'>
(b) Falsch. Die Wahrheitstabellen der beiden Seiten sind nicht gleich.
Für P = f, Q = w, R = f stimmt das Gesetz nicht:
</syntaxhighlight>
{| class="wikitable"
! P !! Q !! R !! ( P → (Q → R) ) !! ( (P → Q) → R )
|-
| w || w || w || w || w
|-
| w || w || f || f || f
|-
| w || f || w || w || w
|-
| w || f || f || w || w
|-
| f || w || w || w || w
|-
| style='background-color:#ff6969' | f || style='background-color:#ff6969' | w || style='background-color:#ff6969' | f || style='background-color:#ff6969' | w || style='background-color:#ff6969'| f
|-
| f || f || w || w || w
|-
| f || f || f || w || w
|}

[[Category: Propositional logic (Aussagenlogik)‎]]