View source for Mengen und Elemente: Mitgliedschaft, Extensionalität, Definitionen

= Mengen und Elemente =
Die Grundidee der Mengenlehre besteht darin, Objekte – genannt Elemente – zu einer Menge zusammenzufassen.  
Diese Elemente können Zahlen, Buchstaben, Personen oder sogar andere Mengen sein.

== Elemente und Zugehörigkeit ==
Die Zugehörigkeit eines Elements zu einer Menge wird mit dem Symbol ∈ ausgedrückt.

Beispiele:
* 3 ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
* a ∈ {a, b, c}
* 6 ∉ {1, 2, 3, 4, 5}

Die Zugehörigkeit ist immer eindeutig:  
Ein Element ist entweder in einer Menge enthalten oder nicht.

== Das Extensionalitätsaxiom ==
Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.  
Formell:
 A = B ⇔ ∀x: (x ∈ A ⇔ x ∈ B)

Beispiel:
 A = {1, 2, 3}  
 B = {3, 2, 1}  
Da beide Mengen dieselben Elemente enthalten, gilt:  
 A = B

== Definition von Mengen ==
Es gibt zwei grundlegende Arten, eine Menge zu definieren:

=== 1. Explizite (aufzählende) Definition ===
Die Elemente werden direkt angegeben:
 A = {a, b}  
 B = {1, 2, 3, 4, 5}  
 C = {1, 2, a, b, c}

=== 2. Intensionale (beschreibende) Definition ===
Die Elemente werden durch eine Eigenschaft beschrieben:
 B = {n : n ∈ ℤ ∧ n > 5}  
Das liest man:  
„B ist die Menge aller ganzen Zahlen n, für die n grösser als 5 ist.“

Hierbei:
* Der Buchstabe (z. B. n) steht für ein typisches Element.
* Der Doppelpunkt „:“ bedeutet „mit der Eigenschaft“.

== Beispiele ==
=== Beispiel 1 ===
Welche der folgenden Mengen sind gleich?
 A = {a, b}  
 B = {b, a}  
 C = {a}  
 D = {1, 2, 3, 4, 5}  
 E = {n : n ∈ ℤ ∧ 1 ≤ n ≤ 5}  
 F = {x : x ∈ ℝ ∧ x² − 3x + 2 = 0}  
 G = {1, 4/2}

Lösungsidee:
* A und B enthalten dieselben Elemente → A = B  
* D und E beschreiben dieselbe Menge → D = E  
* F enthält die Nullstellen der Gleichung x² − 3x + 2 = 0 → F = {1, 2}  
* G = {1, 2}  
→ F = G

=== Beispiel 2 ===
A = {x : x ∈ ℝ ∧ x² + 1 = 0}  
Da es keine reellen Zahlen gibt, deren Quadrat + 1 = 0 ergibt, ist:  
A = ∅

== Leere Menge ==
Die leere Menge ist die Menge ohne Elemente.  
Notation:
 ∅ oder {}

Eigenschaften:
* ∅ ⊆ A für jede Menge A
* |∅| = 0

== Universalmenge ==
Die Universalmenge (U) enthält alle in einem bestimmten Kontext relevanten Elemente.  
Beispiele:
* In der Geometrie: alle Punkte einer Ebene  
* In der Analysis: alle reellen Zahlen  
* In der Informatik: alle möglichen Zustände oder Datenelemente

Wenn nichts anderes angegeben ist, bezeichnen wir die Universalmenge mit U.

== Zusammenfassung ==
* Elemente sind die Bausteine einer Menge.  
* Eine Menge ist durch ihre Elemente eindeutig bestimmt (Extensionalitätsaxiom).  
* Mengen können explizit oder durch Eigenschaften beschrieben werden.  
* Die leere Menge (∅) enthält keine Elemente.  
* Die Universalmenge (U) enthält alle betrachteten Elemente.

[[Category:Set Theory (Mengenlehre)]]