View source for Vereinigung, Durchschnitt, Differenz und Komplement (inkl. Disjunktheit)

= Vereinigung, Durchschnitt, Differenz und Komplement =
In der Mengenlehre werden neue Mengen oft durch Operationen auf bestehenden Mengen gebildet.  
Die wichtigsten sind Vereinigung, Durchschnitt, Komplement und Differenz.

== Vereinigung ==
Die Vereinigung zweier Mengen A und B, geschrieben A ∪ B, ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B enthalten sind (oder in beiden).

Formale Definition:
 A ∪ B := {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

Beispiel:
 A = {1, 3, 5, 7}  
 B = {2, 4, 6, 8}  
 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Bemerkung:  
Das logische „oder“ (∨) ist einschliessend zu verstehen – also „und/oder“.

== Durchschnitt ==
Der Durchschnitt (oder Schnitt) zweier Mengen A und B, geschrieben A ∩ B, ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.

Formale Definition:
 A ∩ B := {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Beispiel:
 A = {α, β, γ, δ}  
 B = {γ, δ, ε}  
 A ∩ B = {γ, δ}

Wenn A ∩ B = ∅, heissen A und B disjunkt.

Beispiel:  
 A = {1, 3, 5, 7, …}, B = {0, 2, 4, 6, …}  
 A ∩ B = ∅ (ungerade und gerade Zahlen sind disjunkt)

== Komplement ==
Sei U die Universalmenge.  
Das Komplement einer Menge A, geschrieben Aᶜ, besteht aus allen Elementen, die zu U gehören, aber nicht zu A.

Formale Definition:
 Aᶜ := {x : x ∈ U ∧ x ∉ A}

Beispiel:  
U = ℝ  
A = {x : x² ≤ 4}  
→ A = [−2, 2]  
Dann gilt:  
Aᶜ = (−∞, −2) ∪ (2, ∞)

Ein weiteres Beispiel:
U = ℝ  
B = {x : x < 0}  
→ Bᶜ = {x : x ≥ 0}

== Differenz ==
Die Differenz zweier Mengen A und B, geschrieben A \ B, ist die Menge aller Elemente, die in A, aber nicht in B sind.

Formale Definition:
 A \ B := {x : x ∈ A ∧ x ∉ B}

Beispiel:  
 A = {1, 3, 5}  
 B = {1, 2, 3}  
 A \ B = {5}

== Übersicht der Operationen ==
| Operation | Bedeutung | Symbolische Schreibweise | Beispiel |
|------------|------------|--------------------------|-----------|
| Vereinigung | alle Elemente aus A oder B | A ∪ B | {1,2} ∪ {2,3} = {1,2,3} |
| Durchschnitt | nur gemeinsame Elemente | A ∩ B | {1,2,3} ∩ {2,3,4} = {2,3} |
| Komplement | alles, was nicht in A ist | Aᶜ | bei U=ℝ und A=[0,1]: Aᶜ = (−∞,0) ∪ (1,∞) |
| Differenz | A ohne Elemente aus B | A \ B | {1,2,3} \ {2,3} = {1} |

== Disjunkte Mengen ==
Zwei Mengen heissen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente besitzen:
 A ∩ B = ∅

Beispiel:
* A = {1, 2, 3}
* B = {4, 5, 6}
→ disjunkt

== Venn-Diagramme ==
Mengenoperationen lassen sich grafisch darstellen.  
Kreise, die sich überlappen, repräsentieren Vereinigungen und Durchschnitte.  
Das Komplement wird durch den Bereich ausserhalb eines Kreises dargestellt.

== Zusammenfassung ==
* A ∪ B: alle Elemente, die in A oder B enthalten sind  
* A ∩ B: alle Elemente, die in A und B enthalten sind  
* Aᶜ: alle Elemente ausserhalb von A (relativ zu U)  
* A \ B: alle Elemente in A, die nicht in B enthalten sind  
* Zwei Mengen sind disjunkt, wenn ihr Durchschnitt leer ist

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