Teilmengen und Gleichheit von Mengen

Teilmengen und Gleichheit von Mengen

Neben der Zugehörigkeit von Elementen zu Mengen spielt auch die Beziehung zwischen Mengen selbst eine zentrale Rolle. Dazu gehört insbesondere das Konzept der Teilmengen.

Definition: Teilmenge

Eine Menge A heißt Teilmengen von B, wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist.

Notation:

A ⊆ B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Wenn A keine Teilmenge von B ist, schreibt man:

A ⊈ B

Falls A ⊆ B gilt, aber A ≠ B, nennt man A eine echte Teilmenge von B:

A ⊂ B

Beispiel

• {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}
• {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}
• {a, b} ⊂ {a, b, c, d}
• {a, b, c, d} ⊆ {a, b, c, d}
• {x} ⊄ {y, z}

Grundlegende Eigenschaften von Teilmengen

Für beliebige Mengen A, B, C und die leere Menge ∅ gilt:

1. Reflexivität:

  ∅ ⊆ A und A ⊆ A  

2. Transitivität:

  Wenn A ⊆ B und B ⊆ C, dann gilt A ⊆ C  

3. Antisymmetrie:

  A = B ⇔ (A ⊆ B und B ⊆ A)

Beispiele

Beispiel 1

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

• (a) {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}
• (b) ∅ ⊆ ∅
• (c) {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 4}

Lösungen:

• (a) Wahr – jede Menge ist Teilmenge von sich selbst.
• (b) Wahr – die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, auch von sich selbst.
• (c) Falsch – 3 ∈ {1, 2, 3}, aber 3 ∉ {1, 2, 4}.

Darstellung durch Venn-Diagramme

Das Teilmengenverhältnis kann anschaulich dargestellt werden:

• Wenn A ⊆ B, liegt die Fläche von A vollständig innerhalb von B.
• Wenn A und B disjunkt sind, überschneiden sich ihre Flächen nicht.

Wichtige Sonderfälle

| Situation       | Bedeutung                                    |
|-----------------|----------------------------------------------|
| ∅ ⊆ A          | Leere Menge ist immer Teilmenge              |
| A ⊆ U           | Jede Menge ist Teilmenge der Universalmenge  |
| A ⊆ B und B ⊆ A | Dann gilt A = B                              |

Zusammenhang mit Gleichheit

Das Teilmengenprinzip ist die Grundlage der Gleichheitsdefinition:

A = B ⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A)

Damit ist die Gleichheit zweier Mengen formal nichts anderes als gegenseitige Teilmengenbeziehung.

Zusammenfassung

• A ⊆ B bedeutet: Alle Elemente von A sind in B enthalten.
• Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.
• A = B gilt genau dann, wenn A ⊆ B und B ⊆ A.
• Teilmengen lassen sich visuell als vollständig enthaltene Bereiche darstellen.
• Das Teilmengenprinzip ist ein fundamentales Werkzeug in der Mengenlehre.