Mengensysteme, Potenzmenge & Partitionen: Difference between revisions
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(c) {{2,3,4,5}, {6,7,8}, {9,10}} → Partition von {2,…,10}, nicht von S | (c) {{2,3,4,5}, {6,7,8}, {9,10}} → Partition von {2,…,10}, nicht von S | ||
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Ein Venn-Diagramm kann Partitionen als | Ein Venn-Diagramm kann Partitionen als nicht überlappende Flächen innerhalb der Universalmenge darstellen. | ||
Jede Teilmenge repräsentiert ein disjunktes „Teilgebiet“. | Jede Teilmenge repräsentiert ein disjunktes „Teilgebiet“. | ||
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* Mengensystem: Menge von Mengen. | |||
* Potenzmenge P(S): Menge aller Teilmengen von S, mit |P(S)| = 2ⁿ. | |||
* Partition: disjunkte, nicht-leere Teilmengen, deren Vereinigung S ergibt. | |||
* Potenzmengen und Partitionen sind zentrale Konzepte in Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. | * Potenzmengen und Partitionen sind zentrale Konzepte in Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. | ||
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Mengensysteme, Potenzmenge und Partitionen
Neben einzelnen Mengen betrachtet man oft Systeme von Mengen – also Mengen, deren Elemente wiederum Mengen sind. Dazu gehören wichtige Begriffe wie Potenzmenge und Partition.
Mengensystem
Eine Menge von Mengen heisst ein Mengensystem. Beispiel:
S = { {1, 2}, {3, 4}, {5} }
Jedes Element von S ist selbst eine Menge.
Potenzmenge
Die Potenzmenge einer Menge S ist die Menge aller Teilmengen von S. Notation:
P(S) = {A : A ⊆ S}
Beispiel:
Sei S = {1, 2}
Dann gilt:
P(S) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
Beispiel:
- A = ∅ → P(A) = {∅}
- B = {a} → P(B) = {∅, {a}}
- C = {a, b} → P(C) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}
Allgemein gilt:
Eine Menge mit n Elementen besitzt 2ⁿ Teilmengen.
Beispiel:
D = {a, b, c, d} → |P(D)| = 2⁴ = 16
Beispielaufgaben
1. Bestimme die Potenzmenge von E = {a, b, c, d}.
→ 16 Teilmengen
2. Wieviele Teilmengen besitzt eine Menge mit 5 Elementen?
→ 2⁵ = 32
Partition
Eine Partition einer Menge S ist eine Aufteilung von S in nicht-leere, disjunkte Teilmengen, deren Vereinigung S ergibt.
Formal: Eine Familie {Aᵢ} von Teilmengen von S ist eine Partition, wenn gilt: 1. Aᵢ ≠ ∅ für alle i 2. ⋃ Aᵢ = S 3. Aᵢ ∩ Aⱼ = ∅ für alle i ≠ j
Beispiel: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(a) {∅, {1,2}, {3,4,5}, {6,7,8,9,10}} → keine Partition, da ∅ enthalten (b) {{1,2,3,4}, {4,5,6}, {7,8,9,10}} → keine Partition, da sich {1,2,3,4} und {4,5,6} überschneiden (c) {{2,3,4,5}, {6,7,8}, {9,10}} → Partition von {2,…,10}, nicht von S (d) {{1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9,10}} → gültige Partition von S
Zusammenhang zwischen Potenzmenge und Partition
- Die Potenzmenge enthält alle möglichen Kombinationen von Teilmengen.
- Eine Partition wählt aus diesen Teilmengen eine besondere Kombination, bei der:
- keine Schnittmenge entsteht - die Vereinigung wieder die Ausgangsmenge ergibt
Visualisierung
Ein Venn-Diagramm kann Partitionen als nicht überlappende Flächen innerhalb der Universalmenge darstellen. Jede Teilmenge repräsentiert ein disjunktes „Teilgebiet“.
Zusammenfassung
- Mengensystem: Menge von Mengen.
- Potenzmenge P(S): Menge aller Teilmengen von S, mit |P(S)| = 2ⁿ.
- Partition: disjunkte, nicht-leere Teilmengen, deren Vereinigung S ergibt.
- Potenzmengen und Partitionen sind zentrale Konzepte in Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung.