Mengensysteme, Potenzmenge & Partitionen

Mengensysteme, Potenzmenge und Partitionen

Neben einzelnen Mengen betrachtet man oft Systeme von Mengen – also Mengen, deren Elemente wiederum Mengen sind. Dazu gehören wichtige Begriffe wie Potenzmenge und Partition.

Mengensystem

Eine Menge von Mengen heisst ein Mengensystem. Beispiel:

S = { {1, 2}, {3, 4}, {5} }

Jedes Element von S ist selbst eine Menge.

Potenzmenge

Die Potenzmenge einer Menge S ist die Menge aller Teilmengen von S. Notation:

P(S) = {A : A ⊆ S}

Beispiel:

Sei S = {1, 2}  
Dann gilt:
P(S) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}

Beispiel:

• A = ∅ → P(A) = {∅}
• B = {a} → P(B) = {∅, {a}}
• C = {a, b} → P(C) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}

Allgemein gilt:

Eine Menge mit n Elementen besitzt 2ⁿ Teilmengen.

Beispiel:

D = {a, b, c, d} → |P(D)| = 2⁴ = 16

Beispielaufgaben

1. Bestimme die Potenzmenge von E = {a, b, c, d}.

  → 16 Teilmengen  

2. Wieviele Teilmengen besitzt eine Menge mit 5 Elementen?

  → 2⁵ = 32

Partition

Eine Partition einer Menge S ist eine Aufteilung von S in nicht-leere, disjunkte Teilmengen, deren Vereinigung S ergibt.

Formal: Eine Familie {Aᵢ} von Teilmengen von S ist eine Partition, wenn gilt: 1. Aᵢ ≠ ∅ für alle i 2. ⋃ Aᵢ = S 3. Aᵢ ∩ Aⱼ = ∅ für alle i ≠ j

Beispiel: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(a) {∅, {1,2}, {3,4,5}, {6,7,8,9,10}} → keine Partition, da ∅ enthalten (b) {{1,2,3,4}, {4,5,6}, {7,8,9,10}} → keine Partition, da sich {1,2,3,4} und {4,5,6} überschneiden (c) {{2,3,4,5}, {6,7,8}, {9,10}} → Partition von {2,…,10}, nicht von S (d) {{1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9,10}} → gültige Partition von S

Zusammenhang zwischen Potenzmenge und Partition

• Die Potenzmenge enthält alle möglichen Kombinationen von Teilmengen.
• Eine Partition wählt aus diesen Teilmengen eine besondere Kombination, bei der:

 - keine Schnittmenge entsteht  
 - die Vereinigung wieder die Ausgangsmenge ergibt

Visualisierung

Ein Venn-Diagramm kann Partitionen als nicht überlappende Flächen innerhalb der Universalmenge darstellen. Jede Teilmenge repräsentiert ein disjunktes „Teilgebiet“.

Zusammenfassung

• Mengensystem: Menge von Mengen.
• Potenzmenge P(S): Menge aller Teilmengen von S, mit |P(S)| = 2ⁿ.
• Partition: disjunkte, nicht-leere Teilmengen, deren Vereinigung S ergibt.
• Potenzmengen und Partitionen sind zentrale Konzepte in Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung.