Vereinigung, Durchschnitt, Differenz und Komplement (inkl. Disjunktheit)

Vereinigung, Durchschnitt, Differenz und Komplement

In der Mengenlehre werden neue Mengen oft durch **Operationen** auf bestehenden Mengen gebildet. Die wichtigsten sind **Vereinigung**, **Durchschnitt**, **Komplement** und **Differenz**.

Vereinigung

Die **Vereinigung** zweier Mengen A und B, geschrieben **A ∪ B**, ist die Menge aller Elemente, die in **A** oder in **B** enthalten sind (oder in beiden).

Formale Definition:

A ∪ B := {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

Beispiel:

A = {1, 3, 5, 7}  
B = {2, 4, 6, 8}  
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Bemerkung: Das logische „oder“ (∨) ist **einschließend** zu verstehen – also „und/oder“.

Durchschnitt

Der **Durchschnitt** (oder **Schnitt**) zweier Mengen A und B, geschrieben **A ∩ B**, ist die Menge aller Elemente, die sowohl in **A** als auch in **B** enthalten sind.

Formale Definition:

A ∩ B := {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Beispiel:

A = {α, β, γ, δ}  
B = {γ, δ, ε}  
A ∩ B = {γ, δ}

Wenn A ∩ B = ∅, heißen A und B **disjunkt**.

Beispiel:

A = {1, 3, 5, 7, …}, B = {0, 2, 4, 6, …}  
A ∩ B = ∅ (ungerade und gerade Zahlen sind disjunkt)

Komplement

Sei U die **Universalmenge**. Das **Komplement** einer Menge A, geschrieben **Aᶜ**, besteht aus allen Elementen, die zu U gehören, aber **nicht** zu A.

Formale Definition:

Aᶜ := {x : x ∈ U ∧ x ∉ A}

Beispiel: U = ℝ A = {x : x² ≤ 4} → A = [−2, 2] Dann gilt: Aᶜ = (−∞, −2) ∪ (2, ∞)

Ein weiteres Beispiel: U = ℝ B = {x : x < 0} → Bᶜ = {x : x ≥ 0}

Differenz

Die **Differenz** zweier Mengen A und B, geschrieben **A \ B**, ist die Menge aller Elemente, die in **A**, aber **nicht** in **B** sind.

Formale Definition:

A \ B := {x : x ∈ A ∧ x ∉ B}

Beispiel:

A = {1, 3, 5}  
B = {1, 2, 3}  
A \ B = {5}

Übersicht der Operationen

| Operation | Bedeutung | Symbolische Schreibweise | Beispiel | |------------|------------|--------------------------|-----------| | Vereinigung | alle Elemente aus A oder B | A ∪ B | {1,2} ∪ {2,3} = {1,2,3} | | Durchschnitt | nur gemeinsame Elemente | A ∩ B | {1,2,3} ∩ {2,3,4} = {2,3} | | Komplement | alles, was nicht in A ist | Aᶜ | bei U=ℝ und A=[0,1]: Aᶜ = (−∞,0) ∪ (1,∞) | | Differenz | A ohne Elemente aus B | A \ B | {1,2,3} \ {2,3} = {1} |

Disjunkte Mengen

Zwei Mengen heißen **disjunkt**, wenn sie keine gemeinsamen Elemente besitzen:

A ∩ B = ∅

Beispiel:

• A = {1, 2, 3}
• B = {4, 5, 6}

→ disjunkt

Venn-Diagramme

Mengenoperationen lassen sich grafisch darstellen. Kreise, die sich überlappen, repräsentieren Vereinigungen und Durchschnitte. Das Komplement wird durch den Bereich außerhalb eines Kreises dargestellt.

Zusammenfassung

• **A ∪ B**: alle Elemente, die in A oder B enthalten sind
• **A ∩ B**: alle Elemente, die in A und B enthalten sind
• **Aᶜ**: alle Elemente außerhalb von A (relativ zu U)
• **A \ B**: alle Elemente in A, die nicht in B enthalten sind
• Zwei Mengen sind **disjunkt**, wenn ihr Durchschnitt leer ist