Mengen und Elemente: Mitgliedschaft, Extensionalität, Definitionen

Mengen und Elemente

Die Grundidee der Mengenlehre besteht darin, Objekte – genannt Elemente – zu einer Menge zusammenzufassen. Diese Elemente können Zahlen, Buchstaben, Personen oder sogar andere Mengen sein.

Elemente und Zugehörigkeit

Die Zugehörigkeit eines Elements zu einer Menge wird mit dem Symbol ∈ ausgedrückt.

Beispiele:

• 3 ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
• a ∈ {a, b, c}
• 6 ∉ {1, 2, 3, 4, 5}

Die Zugehörigkeit ist immer eindeutig: Ein Element ist entweder in einer Menge enthalten oder nicht.

Das Extensionalitätsaxiom

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Formell:

A = B ⇔ ∀x: (x ∈ A ⇔ x ∈ B)

Beispiel:

A = {1, 2, 3}  
B = {3, 2, 1}  

Da beide Mengen dieselben Elemente enthalten, gilt:

A = B

Definition von Mengen

Es gibt zwei grundlegende Arten, eine Menge zu definieren:

1. Explizite (aufzählende) Definition

Die Elemente werden direkt angegeben:

A = {a, b}  
B = {1, 2, 3, 4, 5}  
C = {1, 2, a, b, c}

2. Intensionale (beschreibende) Definition

Die Elemente werden durch eine Eigenschaft beschrieben:

B = {n : n ∈ ℤ ∧ n > 5}  

Das liest man: „B ist die Menge aller ganzen Zahlen n, für die n grösser als 5 ist.“

Hierbei:

• Der Buchstabe (z. B. n) steht für ein typisches Element.
• Der Doppelpunkt „:“ bedeutet „mit der Eigenschaft“.

Beispiele

Beispiel 1

Welche der folgenden Mengen sind gleich?

A = {a, b}  
B = {b, a}  
C = {a}  
D = {1, 2, 3, 4, 5}  
E = {n : n ∈ ℤ ∧ 1 ≤ n ≤ 5}  
F = {x : x ∈ ℝ ∧ x² − 3x + 2 = 0}  
G = {1, 4/2}

Lösungsidee:

• A und B enthalten dieselben Elemente → A = B
• D und E beschreiben dieselbe Menge → D = E
• F enthält die Nullstellen der Gleichung x² − 3x + 2 = 0 → F = {1, 2}
• G = {1, 2}

→ F = G

Beispiel 2

A = {x : x ∈ ℝ ∧ x² + 1 = 0} Da es keine reellen Zahlen gibt, deren Quadrat + 1 = 0 ergibt, ist: A = ∅

Leere Menge

Die leere Menge ist die Menge ohne Elemente. Notation:

∅ oder {}

Eigenschaften:

• ∅ ⊆ A für jede Menge A
• |∅| = 0

Universalmenge

Die Universalmenge (U) enthält alle in einem bestimmten Kontext relevanten Elemente. Beispiele:

• In der Geometrie: alle Punkte einer Ebene
• In der Analysis: alle reellen Zahlen
• In der Informatik: alle möglichen Zustände oder Datenelemente

Wenn nichts anderes angegeben ist, bezeichnen wir die Universalmenge mit U.

Zusammenfassung

• Elemente sind die Bausteine einer Menge.
• Eine Menge ist durch ihre Elemente eindeutig bestimmt (Extensionalitätsaxiom).
• Mengen können explizit oder durch Eigenschaften beschrieben werden.
• Die leere Menge (∅) enthält keine Elemente.
• Die Universalmenge (U) enthält alle betrachteten Elemente.