Vereinigung, Durchschnitt, Differenz und Komplement (inkl. Disjunktheit)

Vereinigung, Durchschnitt, Differenz und Komplement

In der Mengenlehre werden neue Mengen oft durch Operationen auf bestehenden Mengen gebildet. Die wichtigsten sind Vereinigung, Durchschnitt, Komplement und Differenz.

Vereinigung

Die Vereinigung zweier Mengen A und B, geschrieben A ∪ B, ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B enthalten sind (oder in beiden).

Formale Definition:

A ∪ B := {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

Beispiel:

A = {1, 3, 5, 7}  
B = {2, 4, 6, 8}  
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Bemerkung: Das logische „oder“ (∨) ist einschliessend zu verstehen – also „und/oder“.

Durchschnitt

Der Durchschnitt (oder Schnitt) zweier Mengen A und B, geschrieben A ∩ B, ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.

Formale Definition:

A ∩ B := {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Beispiel:

A = {α, β, γ, δ}  
B = {γ, δ, ε}  
A ∩ B = {γ, δ}

Wenn A ∩ B = ∅, heissen A und B disjunkt.

Beispiel:

A = {1, 3, 5, 7, …}, B = {0, 2, 4, 6, …}  
A ∩ B = ∅ (ungerade und gerade Zahlen sind disjunkt)

Komplement

Sei U die Universalmenge. Das Komplement einer Menge A, geschrieben Aᶜ, besteht aus allen Elementen, die zu U gehören, aber nicht zu A.

Formale Definition:

Aᶜ := {x : x ∈ U ∧ x ∉ A}

Beispiel: U = ℝ A = {x : x² ≤ 4} → A = [−2, 2] Dann gilt: Aᶜ = (−∞, −2) ∪ (2, ∞)

Ein weiteres Beispiel: U = ℝ B = {x : x < 0} → Bᶜ = {x : x ≥ 0}

Differenz

Die Differenz zweier Mengen A und B, geschrieben A \ B, ist die Menge aller Elemente, die in A, aber nicht in B sind.

Formale Definition:

A \ B := {x : x ∈ A ∧ x ∉ B}

Beispiel:

A = {1, 3, 5}  
B = {1, 2, 3}  
A \ B = {5}

Übersicht der Operationen

| Operation | Bedeutung | Symbolische Schreibweise | Beispiel | |------------|------------|--------------------------|-----------| | Vereinigung | alle Elemente aus A oder B | A ∪ B | {1,2} ∪ {2,3} = {1,2,3} | | Durchschnitt | nur gemeinsame Elemente | A ∩ B | {1,2,3} ∩ {2,3,4} = {2,3} | | Komplement | alles, was nicht in A ist | Aᶜ | bei U=ℝ und A=[0,1]: Aᶜ = (−∞,0) ∪ (1,∞) | | Differenz | A ohne Elemente aus B | A \ B | {1,2,3} \ {2,3} = {1} |

Disjunkte Mengen

Zwei Mengen heissen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente besitzen:

A ∩ B = ∅

Beispiel:

• A = {1, 2, 3}
• B = {4, 5, 6}

→ disjunkt

Venn-Diagramme

Mengenoperationen lassen sich grafisch darstellen. Kreise, die sich überlappen, repräsentieren Vereinigungen und Durchschnitte. Das Komplement wird durch den Bereich ausserhalb eines Kreises dargestellt.

Zusammenfassung

• A ∪ B: alle Elemente, die in A oder B enthalten sind
• A ∩ B: alle Elemente, die in A und B enthalten sind
• Aᶜ: alle Elemente ausserhalb von A (relativ zu U)
• A \ B: alle Elemente in A, die nicht in B enthalten sind
• Zwei Mengen sind disjunkt, wenn ihr Durchschnitt leer ist