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= Funktionen: Definition, Notation & Beispiele =
Diese Seite führt den Funktionsbegriff (Abbildung) formal ein, klärt die Bezeichnungen und zeigt zentrale Beispiele – auch ausserhalb von ℝ.

== Definition (Abbildung) ==
Seien A und B Mengen. Eine Funktion (Abbildung)
 f : A → B
ist eine Vorschrift, die jedem Element x ∈ A genau ein Element f(x) ∈ B zuordnet.

Wesentliche Punkte:
* Eindeutigkeit: Zu jedem x ∈ A gibt es genau ein Bild f(x).  
* Totalität: Jedes x ∈ A wird abgebildet (kein Element bleibt „ohne Bild“).

== Bezeichnungen und Notation ==
* f : A → B,  x ↦ f(x)  
* Definitionsbereich (Domain): A  
* Zielbereich (Codomain): B  
* Bild/Wertemenge (Image): Im(f) = f(A) = { f(x) : x ∈ A } ⊆ B  
* Bild eines Elements: y = f(x)  
* Urbild von y ∈ B: jedes x ∈ A mit f(x) = y (kann kein, ein oder mehrere Urbilder haben)  
* In y = f(x) heisst y abhängige, x unabhängige Variable.

== Was ist *keine* Funktion? ==
Ein Zuordnungsschema g : A → B ist keine Funktion, wenn
* ein x ∈ A mehreren y ∈ B zugeordnet wird (Verstoss gegen Eindeutigkeit), oder
* ein x ∈ A gar keinem y ∈ B zugeordnet wird (Verstoss gegen Totalität).

== Beispiele ==
; (a) Quadratische Funktion
: A = B = ℝ,  f(x) = x².  Bild: Im(f) = ℝ⁺₀.
; (b) Anzahl der Primfaktoren
: A = ℕ \ {1}, B = ℕ,  f(n) = Anzahl der Primfaktoren von n (mit Vielfachheiten).  
: f(6)=2 (2·3), f(20)=3 (2·2·5), f(23 456 789)=1 (Primzahl).
; (c) Länge einer Zeichenkette
: A = {alle Strings}, B = ℕ₀,  f(x) = Länge(x).  Beispiel: f(„23x4a“) = 5.
; (d) Stückweise definierte Funktion
: f(x) = { 2x−4  für x ≥ 3;  |x|  für −2 < x < 3;  1+x  für x ≤ −2 }  mit A = ℝ.
: f(5)=6, f(−1)=1, f(−7)=−6.
; (e) Logischer Ausdruck als Funktion
: A = {W,F}³, B = {W,F},  f(X,Y,Z) = X ∧ (Y ∨ ¬Z).  
: Beispiel: f(W,F,W) = F.

== Graph einer Funktion (Mengenauffassung) ==
Für f : A → B ist der Graph
 G(f) = { (x, f(x)) : x ∈ A } ⊂ A × B.
Für reellwertige Funktionen f : ℝ → ℝ ist das der übliche Graph in der xy-Ebene.

== Reellwertige Funktionen einer reellen Variablen ==
In der Analysis betrachtet man vor allem f : ℝ → ℝ (oder Teilmengen davon).  
Dann sind x, y reelle Zahlen und der Graph ist eine Kurve in der Ebene.

== Häufige Stolpersteine ==
* „Ein x mit zwei Pfeilen zu verschiedenen y“ → keine Funktion.  
* Bildmenge Im(f) ist i. Allg. nicht gleich dem Zielbereich B.  
* Urbilder können mehrfach sein (nicht-injektive Funktionen).

== Kurzer Blick voraus ==
Spezielle Eigenschaften wie Injektivität, Surjektivität, Bijektivität, die Komposition g∘f sowie die Umkehrfunktion f⁻¹ werden auf eigenen Seiten behandelt.

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