Funktionen (Abbildungen): Überblick

Diese Übersichtsseite führt in den Begriff der Funktion (Abbildung) ein und verlinkt auf die Detailseiten: Definition & Notation, Graph, Injektivität/Surjektivität/Bijektivität, Komposition und Umkehrfunktion. Die Beispiele orientieren sich an den Inhalten der Vorlesung „Diskrete Mathematik I (BZG1155pa) 25/26“.

Was ist eine Funktion?

Eine Funktion (Abbildung) ordnet jedem Element x einer Menge A **genau ein** Element f(x) einer Menge B zu. Notation:

f : A → B,  x ↦ f(x)

• A heißt **Definitionsbereich**.
• B heißt **Zielbereich** (Codomain).
• Das **Bild** (Image) ist f(A) = { f(x) : x ∈ A } ⊆ B.
• y = f(x) heißt **Bild** von x; x heißt **Urbild** von y.

Beispiele:

• Flächeninhalt eines Kreises: A(r) = π r², r > 0
• Länge einer Zeichenkette: len("23x4a") = 5
• Stückweise definierte Funktion:

 f(x) = { 2x−4 für x ≥ 3; |x| für −2 < x < 3; 1+x für x ≤ −2 }

Wichtige Spezialfunktionen

• **Abrundungsfunktion (floor)**: ⌊x⌋ = größte ganze Zahl ≤ x
• **Aufrundungsfunktion (ceiling)**: ⌈x⌉ = kleinste ganze Zahl ≥ x

Weiterführende Seiten

• Funktionen: Definition, Notation & Beispiele
• Graph einer Funktion
• Injektiv, Surjektiv, Bijektiv
• Komposition (Verkettung) von Funktionen
• Umkehrfunktion (Inverse Abbildung)
• Spezielle Funktionen: Floor ⌊·⌋ und Ceiling ⌈·⌉

Hinweise zur Praxis

• Bei reellwertigen Funktionen f : ℝ → ℝ ist y = f(x) eine Kurve in der xy-Ebene.
• Das Bild f(A) unterscheidet sich i. Allg. vom Zielbereich B.
• Ein y ∈ B kann kein, ein oder mehrere Urbilder haben (abhängig von f).